Baumgarten Nándor egy művelt kereskedő gyermekeként a fővárosban született 1873. május 29-én. Egyik nagybátyja, Baumgarten Izidor neves büntetőjogász, másik nagybátyja Baumgarten Károly kereskedelmi jogi bíró volt. Felsőfokú tanulmányait Lipcsében, Berlinben és Budapesten végezte. 1896-ban itt avatták jogtudományi doktorrá, 1899-ben ügyvédi oklevelet, 1905-ben pedig a Budapesti Tudományegyetemen kereskedelmi és váltójogból magántanári képesítést szerzett.

Tanulmányai befejezése után 1899-ben ügyvédi irodát nyitott Budapesten. Bejárva Nyugat-Európát, 1904-ben az Amerikai Egyesült Államokban tanulmányúton vett részt, és komoly műveltségre, tapasztalatra, nyelvtudásra tett szert. 1914-ig ügyvédként, 1914-től 1921-ig közigazgatási ítélő bíróként dolgozott. Közben 1905-től a Budapesti Tudományegyetemen kereskedelmi és váltójog magántanára, 1915-től címzetes nyilvános rendkívüli tanára. 30 évet tanított az egyetemen. 1921-től a nyugdíjba vonult bíró a Beocsini Cementgyár Unió elnökeként tevékenykedett.

Baumgarten szemléletét a gazdasági liberalizmus, a magántulajdon rendjének tisztelete hatotta át, a nemzetek közötti gazdasági jogegyenlőségnek, a hiteljog nemzetközi egyenlősítésének fontosságát vallotta. Tudományos érdeklődése a jogtudomány széles skáláján mozgott, a részvényjog, a pénzügyi jog, a kereskedelmi jog, a fuvarozási jog, a munkajog, a nemzetközi jog, az eljárási jog, a magánjog, az ipari tulajdonjog kérdései is vizsgálódásainak fókuszába kerültek. Legnagyobb korai elismerést kiváltó könyvét 1900-ban Nemzetközi vasúti árufuvarozási jog címmel adták ki, amelyet a jogász szakma, a berni egyezményben kodifikált joganyag első rendszeres feldolgozásának, a bel- és külföldi szakirodalom, illetve joggyakorlat kifogástalan ismeretén alapuló tudományos kézikönyvnek minősített. Akadémiai díjnyertes művei – 1906-ban jelent meg a Kartellek és trustök című, Meszlény Artúrral közösen írt vaskos kötete és 1917-ben a Jogerő a közigazgatási eljárásban című könyve, amely a közigazgatási jogelmélet és joggyakorlat kérdéskörének színvonalas bemutatása – ugyancsak kiemelkedő alkotásnak számítanak. A különböző időszaki kiadványokban közel száz tanulmánya, dolgozata, cikke található, ezeket főleg a Jogállam, a Jogtudományi Közlöny, az Ügyvédek Lapja, a Magyar Pénzügy, a Budapesti Szemle, a Pénzintézeti Szemle, a Magyar Jogászegyleti Értekezések című folyóiratokban publikálta, és jogterületeiről különböző szervezetekben, társaságokban számos tudományos előadást is tartott.

1901-ben a Jogállam című folyóirat alapítója és 34 éven át – haláláig – szerkesztője. Az 1900-as évek elején a Magyar Jogászegylet titkára, később alelnöke lett. Ő szervezte meg a Nemzetközi Jogi Társaság (International Law Association) magyarországi csoportját, amelynek főtitkári teendőit is végezte. Elnöke volt az Iparjogvédelmi Egyesületnek, alelnöke a Gazdaságjogi Intézetnek, tagja a Biztosítási Szaktanácsnak és 1929-től a hágai Nemzetközi Állandó Választott Bíróságnak is.

A 20. század első évtizedeinek neves kereskedelmi jogásza, több jogág kiemelkedő jogtudósa, 1935. május 29-én, 62 éves korában, Budapesten halt meg.